题目描述

我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

输入输出格式

输入格式：

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

输出格式：

输出一个整数，为所求方案数。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2 2 4

输出样例#1：

3

说明

样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1<=N,K<=10^9，1<=L<=H<=10^9，H-L<=10^5

此题有巧解

首先将L/k,R/k,gcd=k/k=1

令f(x)为gcd=x的方案数

F(i)为x能被i整除的方案数

F(i)=∑_df(d)    (i|d)

反演得f(d)=∑_iμ(i/d)F(i)  (d|i)

f(1)=∑μ(i)F(i)    (1<=i<=H)

=∑μ(i)([r/i]-[(l-1)/i])^n

可知当i>H-L时，[r/i]-[(l-1)/i]等于1或0，所以可以去掉指数

f(1)=∑μ(i)([r/i]-[(l-1)/i])+∑μ(j)([r/j]-[(l-1)/j])^n         (H-L+1<=i<=H,1<=j<=H-L)

因为H-L很小，直接枚举加快速幂搞定，对于左边

∑μ(i)([r/i]-[(l-1)/i])                  (H-L+1<=i<=H)

=∑μ(i)([r/i]-[(l-1)/i])-∑μ(j)([r/j]-[(l-1)/j])     (1<=i<=H,1<=j<=H-L)

右边快速幂，而∑μ(i)([r/i]-[(l-1)/i])可以等价于取一个数，使gcd=1的方案数,显然只有当L=1时+1

复杂度为O((H-L)*log(n))

似乎此题还可以用递推？？

1 #include
     
       2 #include
      
        3 #include
       
         4 #include
        
          5 using namespace std; 6 int Mod=1000000007; 7 typedef long long lol; 8 bool vis[100001]; 9 lol mu[100001],r,l,n,k,ans;10 int tot,prime[100001];11 lol qpow(lol x,lol y)12 {13     lol res=1;14     while (y)15     {16         if (y%2==1)17         {18             res=(res*x)%Mod;19         }20         x=(x*x)%Mod;21         y=y/2;22     }23     return res;24 }25 void mobius()26 {lol i,j;27 mu[1]=1;28     for (i=2;i<=r-l;i++)29     {30         if (vis[i]==0)31         {32             tot++;33             prime[tot]=i;34             mu[i]=-1;35         }36         for (j=1;j<=tot,i*prime[j]<=r-l;j++)37          {38              vis[i*prime[j]]=1;39              if (i%prime[j]==0)40              {41                  mu[i*prime[j]]=0;42                  break;43             }44                  mu[i*prime[j]]=-mu[i];45          }46     }47 }48 int main()49 {
   int i;50     cin>>n>>k>>l>>r;51     l=(l+k-1)/k;r=r/k;52     mobius();53     for (i=1;i<=r-l;i++)54     {55       ans=(ans+mu[i]*qpow(r/i-(l-1)/i,n)%Mod)%Mod;    56     }57     if (l==1) ans++;58     for (i=1;i<=r-l;i++)59     {60       ans=(ans-mu[i]*(r/i-(l-1)/i))%Mod;    61     }62  cout<<(ans+Mod)%Mod;63 }